\documentclass[handout]{slide}




\renewcommand{\mytitle}{第八章\quad 向量代数与空间解析几何}
\renewcommand{\mysubtitle}{第四节\quad 空间直线及其方程}

\graphicspath{ {./images/} }
\tikzset{>=latex}

\begin{document}


\section{空间直线的一般方程}

\begin{frame}{空间直线的一般方程}
\pause
空间直线 $L$ 可以看做是两个平面 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{2}$ 的交线 (图 8-35). 
\pause
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  %\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-15}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.2]
   \onslide<+->{%
% axis
\draw[->] (0.3,-3.5) -- +(0,7) node[yshift=5pt] {$z$};
\draw[->] (0.3,-3.5) -- +(220:4) node[yshift=-5pt,xshift=-5pt] {$x$};
\draw[->] (0.3,-3.5) -- +(12,0) node[xshift=6pt] {$y$};
\node at (0.5,-4.3) {$O$};
}%

\onslide<+->{%
% border of the surface1
\path[draw,color=orange,name path=border1] (0,0) -- (6,-2);
% border of the surface1
\path[draw,color=orange,name path=border2] (12,1) -- (6,3);
% border of the surface1
\draw[draw,color=orange,thick,name path=line1] (6,-2) -- (12,1);
% border of the surface1
\path[draw,color=orange,name path=line2] (6,3) -- (0,0);
% draw the surface1
\shade[left color=orange!10,right color=orange!70] 
  (0,0) -- (6,-2) -- 
  (12,1) -- (6,3) -- cycle;
\node at (10,1) {$\Pi_1$};
}%

\onslide<+->{%
% border of the surface2
\path[draw,color=cyan,name path=border3] (-1,-4) -- (3,3);
% border of the surface2
\path[draw,color=cyan,name path=border4] (5,-6) -- (9,1);
% border of the surface2
\path[draw,color=cyan,name path=border5] (-1,-4) -- (5,-6);
% border of the surface2
\path[draw,color=cyan,name path=border6] (3,3) -- (9,1);
% draw the surface2
\shade[top color=cyan!10,bottom color=cyan!90,opacity=.30] 
  (-1,-4) -- (3,3)  -- (9,1)
 -- (5,-6) -- (-1,-4);
% label of the surface2
\node at (4.5,-4.5) {$\Pi_2$};
}%

\onslide<+->{%
% intersection points
\path[name intersections={of=border3 and line2,by={a}}];
\path[name intersections={of=border4 and line1,by={b}}];

% intersection of the surfaces
\draw[thick,color=red] (a) -- node[above] {$L$} (b);
}%
\end{tikzpicture}
\caption*{图 8-35}
\end{wrapfigure}
\onslide<+->{%
直线 $L$ 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程。
}%
\onslide<+->{%
这样
如果两个相交的平面 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{2}$ 的方程分别为 $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0$ 和 $A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0$, 
}%
\onslide<+->{%
那么$L$上的任一点的坐标满足方程组
\[\tag{4-1}
  \left\{\begin{array}{l}
    A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\
  A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0
\end{array}\right.
\]
}%
\onslide<+->{%
反过来， 如果点 $M$ 不在直线 $L$ 上， 那么它不可能同时在平面 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{2}$ 上， 所以它的坐标不满足方程组 (4-1). 
}%
\onslide<+->{%
因此， 直线 $L$ 可以用方程组 (4-1) 来表示。 
}%
\onslide<+->{%
方程组 (4-1) 叫做\emph{空间直线的一般方程}。
}%

~

\onslide<+->{%
通过空间一直线 $L$ 的平面有无限多个， 只要在这无限多个平面中任意选取两个，
把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线 $L$.
}%
\end{frame}


\section{空间直线的对称式方程与参数方程}

\begin{frame}{空间直线的对称式方程与参数方程}
\pause
如果一个非零向量平行于一条已知直线， 那么这个向量就叫做这条直线的\emph{方向向量}。
\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
%\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-16}
  \begin{tikzpicture}[scale=.6]
    \draw[->] (0,0) node[below] {$O$} -- (3,0) node[xshift=6pt] {$y$};
    \draw[->] (0,0) -- (0,2.5) node[yshift=6pt] {$z$};
    \draw[->] (0,0) -- (-1,-1) node[xshift=-5pt,yshift=-5pt] {$x$};
    \draw[->, thick, ] (0.5,1) -- (3,2) node[above right] {$L$};
    \draw[->,thick,magenta] (1,2) -- node[above] {$\symbf{s}$} (2,2.4);
    \node [fill=violet!30,inner sep=1pt,shape=circle,label=-90:$M_0$] at (1,1.2) {};
    \node [fill=violet!30,inner sep=1pt,shape=circle, label=-90:$M$] at (2,1.6) {};
\end{tikzpicture}
\caption*{图 8-36}
\end{wrapfigure}
\pause
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线， 
\pause
所以当直线 $L$ 上一点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 和它的一方向向量 $\symbf{s}=(m, n, p)$ 为已知时， 直线 $L$ 的位置就完全确定了。
\pause
下面我们来建立这条直线的方程。

\pause
设点 $M(x, y, z)$ 是直线 $L$ 上的任一点， 则向量 $\overrightarrow{M_{0} M}$与 $L$ 的方向向量 $\symbf{s}$ 平行 (图 8-36),
\pause
所以两向量的对应坐标成比例。
\pause
既然 $\overrightarrow{M_{0} M}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right)$, $\symbf{s}=(m, n, p)$, 我们有
\[\tag{4-2}
\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}.
\]

\pause
注意此表达式要理解为某项分母为零时相应的分子也为零。
\pause
具体说来如下。
当 $m, n$ 和 $p$ 中有一个为零， 例如 $m=0$, 而 $n$ 与 $p \neq 0$ 时， 
\pause
这个方程组应理解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_{0}=0 \\
\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}.
\end{array}\right.
$$
\pause
当 $m, n$ 和 $p$ 中有两个为零，例如 $m=n=0$,而 $p \neq 0$ 时， 
\pause
这个方程组应理解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_{0}=0 \\
y-y_{0}=0.
\end{array}\right.
$$
\end{frame}

\begin{frame}
  反过来， 如果点 $M$ 不在直线 $L$ 上， 那么由于 $\overrightarrow{M_{0} M}$ 与 $\symbf{s}$ 不平行， 这两向量的对应坐标就不成比例。 
\pause
因此方程组 (4-2) 就是直线 $L$ 的方程， 叫做\emph{直线的对称式方程}或\emph{点向式方程}。

~

\pause
直线的任一方向向量 $s$ 的坐标 $m, n$ 和 $p$ 叫做这条直线的一组\emph{方向数}， 而向量 $s$的方向余弦叫做该直线的\emph{方向余弦}。

~

\pause
由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程。
\pause
如设
$$
\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}=t
$$
\pause
则
\[\tag{4-3}
\left\{\begin{array}{l}
  x=x_{0}+m t, \\
y=y_{0}+n t, \\
z=z_{0}+p t .
\end{array}\right.
\]
\pause
用向量的形式写出来就是
\[
  (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(m,n,p).
\]
\pause
方程组 (4-3) 就是\emph{直线的参数方程}。
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  用对称式方程及参数方程表示直线
  \[\tag{4-4}
\left\{\begin{array}{l}
    x+y+z+1=0 \\
  2 x-y+3 z+4=0
\end{array}\right.
\]
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
先找出这条直线上的一点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$. 
\pause
例如， 可以取 $x_{0}=1$, 代入方程组 $(4-4)$, 
\pause
得
$$
\left\{\begin{array}{l}
    y_{0}+z_{0}=-2 \\
  y_{0}-3 z_{0}=6
\end{array}\right.
$$
\pause
解这个二元一次方程组， 得
$$
y_{0}=0, \quad z_{0}=-2,
$$
\pause
即 $(1,0,-2)$ 是这条直线上的一点。
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{solution}[续]
\pause
下面再找出这条直线的方向向量 $\symbf{s}$. 
\pause
因为两平面的交线与这两平面的法向量 $\symbf{n}_{1}=$ $(1,1,1), \symbf{n}_{2}=(2,-1,3)$ 都垂直， 所以可取
$$
\symbf{s}=\symbf{n}_{1} \times \symbf{n}_{2}
\pause
=\left|\begin{array}{ccc}
 \symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
 1 & 1 & 1 \\
 2 & -1 & 3
 \end{array}\right|
\pause
=4 \symbf{i}-\symbf{j}-3 \symbf{k}.
 $$
\pause
 因此，所给直线的对称式方程为
 $$
 \frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}
 $$
\pause
 令 $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}=t$, 
\pause
 得所给直线的参数方程为
 $$
 \left\{\begin{array}{l}
     x=1+4 t \\
   y=-t \\
 z=-2-3 t
 \end{array}\right.
 $$
 \end{solution}
 \end{frame}


\section{两直线的夹角}

\begin{frame}{两直线的夹角}
\pause
两直线的方向向量的夹角 (通常指锐角或直角) 叫做\emph{两直线的夹角}。

~

\pause
设直线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 的方向向量依次为 $\symbf{s}_{1}=\left(m_{1}, n_{1}, p_{1}\right)$ 和 $\symbf{s}_{2}=\left(m_{2}, n_{2}, p_{2}\right)$, 
\pause
则 $L_{1}$ 和 $L_{2}$的夹角 $\varphi$ 应是 $\left(\widehat{\symbf{s}_{1},  \symbf{s}_{2}}\right)$ 和 $\left(\widehat{-\symbf{s}_{1}, \symbf{s}_{2}}\right)=\pi-\left(\widehat{\symbf{s}_{1},  \symbf{s}_{2}}\right)$ 两者中的锐角或直角， 
\pause
因此 
\[
  \cos \varphi= \left|\cos \left(\widehat{\symbf{s}_{1}, \symbf{s}_{2}}\right)\right|.
\]
\pause
按两向量的夹角的余弦公式，直线 $L_{1}$ 和直线 $L_{2}$ 的夹角 $\varphi$ 可由
\[\tag{4-5}
\cos \varphi=\frac{\left|m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}+p_{1} p_{2}\right|}{\sqrt{m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}} \sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}}
\]
来确定。


~

\pause
从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：

\pause
两直线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 互相垂直相当于 $m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}+p_{1} p_{2}=0$;

\pause
两直线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 互相平行或重合相当于 $\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}$.
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求直线 $L_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1}$ 和 $L_{2}: \frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1}$ 的夹角。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
直线 $L_{1}$ 的方向向量为 $\symbf{s}_{1}=(1,-4,1)$, 
\pause
直线 $L_{2}$ 的方向向量为 $\symbf{s}_{2}=(2,-2,-1)$. 
\pause
设直线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 的夹角为 $\varphi$, 
\pause
则由公式 (4-5) 有
$$
\cos \varphi=\frac{|1 \times 2+(-4) \times(-2)+1 \times(-1)|}{\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}+1^{2}} \sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
\pause
所以
$$
\varphi=\frac{\pi}{4} .
$$
\end{solution}
\end{frame}

\section{直线与平面的夹角}

\begin{frame}{直线与平面的夹角}

  \onslide<2->{%
当直线与平面不垂直时， 直线和它在平面上的投影直线的夹角 $\varphi$ ($0 \leqslant \varphi<\frac{\pi}{2}$) 称为\emph{直线与平面的夹角} (图 8-37), 
}%
\onslide<4->{%
当直线与平面垂直时， 规定直线与平面的夹角为 $\frac{\pi}{2}$.
}%

\onslide<3->
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  %\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-18}
    \begin{tikzpicture}[scale=.7]
    \shadedraw[->, thick, left color=green!10, right color=green!60, draw=green] (0,0) -- (4,0) -- (5,2) -- (1,2) -- cycle;
    \coordinate (f) at (4,2);
    \coordinate (g) at (3,3);
    \path[name path=projection] (f) -- (1,0);
    \path[name path=l] (g) -- (2,-1);
    \path[name path=bottom] (0,0) -- (4,0);
    \draw [magenta, thick, name intersections={of=l and bottom, by=b}, name intersections={of=l and projection, by=a}] (g) -- (a) (b) -- (2,-1);
    \draw [magenta, dashed, thick] (a) -- (b);
    \draw[thick, color=magenta] (f) -- (1,0); 
    \pic [draw=magenta, fill=pink, angle radius=3mm, "$\varphi$", angle eccentricity=1.5] {angle=f--a--g};
    \coordinate (d) at ($(a)+(90:2)$);
    \coordinate (e) at ($(a)+(90:-2)$);
    \path [name path=perp] (d) -- (e);
    \draw [color=blue, name intersections={of=perp and bottom, by=c}, thick]
    (a) -- (d) (c) -- (e);
    \draw[blue, dashed, thick] (a) -- (c);
\end{tikzpicture}
\caption*{图 8-37}
\end{wrapfigure}



\onslide<5->{%
设直线的方向向量为 $\symbf{s}=(m, n, p)$, 平面的法向量为 $\symbf{n}=(A, B, C)$, 直线与平面的夹角为 $\varphi$, 
}%
\onslide<6->{%
那么 $\varphi=\left|\frac{\pi}{2}-(\widehat{\symbf{s}, \symbf{n}})\right|$, 
}%
\onslide<7->{%
因此 
\[
  \sin \varphi=|\cos (\widehat{\symbf{s}, \symbf{n}})|.
\]
}%
\onslide<8->{%
按两向量夹角余弦的坐标表示式，有
\[\tag{4-6}
\sin \varphi=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}
\]
}%


\onslide<9->{%
因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法向量平行， 
}%
\onslide<10->{%
所以， 直线与平面垂直相当于
\[\tag{4-7}
  \frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p} .
\]
}%


\onslide<11->{%
因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法向量垂直， 
}%
\onslide<12->{%
所以， 直线与平面平行或直线在平面上相当于
\[\tag{4-8}
A m+B n+C p=0 .
\]
}%
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  求过点 $(1,-2,4)$ 且与平面 $2 x-3 y+z-4=0$ 垂直的直线的方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \pause
因为所求直线垂直于已知平面， 所以可以取已知平面的法向量 $(2,-3,1)$ 作为所求直线的方向向量。 
\pause
由此可得所求直线的方程为
$$
\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-4}{1}.
$$
\end{solution}
\end{frame}


\section{杂例}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求与两平面 $x-4 z=3$ 和 $2 x-y-5 z=1$ 的交线平行且过点 $(-3,2,5)$ 的直线的方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
  \textbf{解法一：}
\pause
  因为所求直线与两平面的交线平行， 也就是直线的方向向量 $\symbf{s}$ 一定同时与两平面的法向量 $\symbf{n}_{1}, \symbf{n}_{2}$ 垂直， 
\pause
  所以可以取
$$
\symbf{s}=\symbf{n}_{1} \times \symbf{n}_{2}
\pause
=\left|\begin{array}{ccc}
 \symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & -5
\end{array}\right|
\pause
=-(4 \symbf{i}+3 \symbf{j}+\symbf{k}).
$$
\pause
因此所求直线的方程为
$$
\frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-5}{1}.
$$

\pause
\textbf{解法二：}
\pause
  过点 $(-3,2,5)$ 且与平面 $x-4 z=3$ 平行的平面的方程为
$$
x-4 z=-23,
$$
\pause
过点 $(-3,2,5)$ 且与平面 $2 x-y-5 z=1$ 平行的平面的方程为
$$
2 x-y-5 z=-33,
$$
\pause
所求直线为上述两平面的交线，故其方程为
$
\left\{\begin{array}{l}
    x-4 z=-23 \\
    2 x-y-5 z=-33.
\end{array}\right.
$
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求直线 $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ 与平面 $2 x+y+z-6=0$ 的交点。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
所给直线的参数方程为
$$
x=2+t, \quad y=3+t, \quad z=4+2 t
$$
\pause
代入平面方程中， 得
$$
2(2+t)+(3+t)+(4+2 t)-6=0 .
$$
\pause
解以上方程， 得 $t=-1$. 
\pause
把求得的 $t$ 值代入直线的参数方程中， 即得所求交点的坐标为
$$
x=1, \quad y=2, \quad z=2 .
$$
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求过点 $(2,1,3)$ 且与直线 $\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ 垂直相交的直线的方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
先作一平面过点 $(2,1,3)$ 且垂直于已知直线， 
\pause
那么这平面的方程应为
$$
3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0 .
$$
\pause
再求已知直线与这平面的交点。 
\pause
已知直线的参数方程为
$$
x=-1+3 t, \quad y=1+2 t, \quad z=-t .
$$
\pause
把 (4-10) 代入 (4-9) 中， 求得 $t=\frac{3}{7}$, 
\pause
从而求得交点为 $\left(\frac{2}{7}, \frac{13}{7},-\frac{3}{7}\right)$.

\pause
以点 $(2,1,3)$ 为起点， 点 $\left(\frac{2}{7}, \frac{13}{7},-\frac{3}{7}\right)$ 为终点的向量
$$
\left(\frac{2}{7}-2, \frac{13}{7}-1,-\frac{3}{7}-3\right)=-\frac{6}{7}(2,-1,4)
$$
是所求直线的一个方向向量， 
\pause
故所求直线的方程为
$$
\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{4}.
$$
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}{过定直线的平面束}
\pause
有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程。

\pause
设直线 $L$ 由方程组
\begin{subnumcases}{}
  A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}= 0  \tag{4-11}\\
  A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}= 0 \tag{4-12}
\end{subnumcases}
所确定， 
\pause
其中系数 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 与 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 不成比例（否则两平面平行或重合，要么不相交要么交集是平面）。 
\pause
我们建立三元一次方程
\[\tag{4-13}
A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}+\lambda\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0,
\]
其中 $\lambda$ 为任意常数。 
\pause
因为 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 与 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 不成比例， 所以对于任何一个 $\lambda$ 值， 方程 (4-13) 的系数： $A_{1}+\lambda A_{2}, B_{1}+\lambda B_{2}, C_{1}+\lambda C_{2}$ 不全为零， 
\pause
从而方程 (4-13) 表示一个平面， 
\pause
若一点在直线 $L$ 上， 则点的坐标必同时满足方程 (4-11) 和 (4-12), 因而也满足方程 (4-13) , 
\pause
故方程 (4-13) 表示通过直线 $L$ 的平面， 
\pause
且对应于不同的 $\lambda$ 值， 方程 (4-13)表示通过直线 $L$ 的不同的平面。
\pause
反之， 通过直线 $L$ 的除平面 (4-12)外的任何平面都包含在方程 (4-13) 所表示的一族平面内
\pause
（通过三平面的法向量可平移到同一平面上解释下！）。
\pause
通过定直线的所有平面的全体称为\emph{平面束}， 
\pause
而方程 (4-13) 就作为通过直线 $L$ 的\emph{平面束的方程 } （实际上， 方程 (4-13) 表示缺少平面 (4-12) 的平面束）。
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  求直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-z-1=0 \\ x-y+z+1=0\end{array}\right.$ 在平面 $x+y+z=0$ 上的投影直线的方程。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
\pause
  我们把投影直线看作经过所给直线且与所给平面垂直的平面与所给平面的交线。
\pause
过直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-z-1=0 \\ x-y+z+1=0\end{array}\right.$ 的平面束的方程为
$
(x+y-z-1)+\lambda(x-y+z+1)=0,
$
\pause
即
\[\tag{4-14}
(1+\lambda) x+(1-\lambda) y+(-1+\lambda) z+(-1+\lambda)=0 \text {, }
\]
其中 $\lambda$ 为待定常数。
\pause
注意到平面$x-y+z+1=0$不与平面$x+y+z=0$垂直，考虑上述的平面束是合理的。
\pause
平面 (4-14) 与平面 $x+y+z=0$ 垂直的条件是
$$
(1+\lambda) \cdot 1+(1-\lambda) \cdot 1+(-1+\lambda) \cdot 1=0,
$$
\pause
即
$
\lambda+1=0,
$
\pause
由此得
$
\lambda=-1 .
$
\pause
代入(4-14)式，得投影平面的方程为
$
2 y-2 z-2=0,
$
\pause
即
$$
y-z-1=0 .
$$
\pause
所以投影直线的方程为
$
\left\{\begin{array}{l}
    y-z-1=0 \\
    x+y+z=0.
\end{array}\right.
$
\end{solution}
\end{frame}

\end{document}
